Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Непредельные случайные величины

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

53.76 Кб

Скачать

☆

Занятие № 6

Непрерывные случайные величины и их характеристики.

1°. Понятие непрерывной случайной величины.

Случайная величина называется непрерывной случайной величиной (НСВ), если найдется такая неотрицательная функция , интегрируемая на всей числовой оси, что функция распределения этой СВ имеет вид

Нетрудно показать, используя свойства определенного интеграла, что функция непрерывна на всей числовой оси. Отсюда, в частности, вытекает, что и, кроме того,

Функция называется плотностью вероятности НСВ и обладает следующими свойствами:

Математическое ожидание НСВ определяется так:

при условии, что несобственный интеграл сходится абсолютно. Если он сходится условно или вовсе расходится, то мат. ожидание не существует. В том случае, когда СВ , где функция интегрируема, то

Дисперсия НСВ определяется так:

Однако удобнее дисперсию вычислять по формуле

2°. Основные распределения НСВ.

1*. Равномерное распределение:

2*. Показательное распределение: ⟹

3*. Нормальное распределение с параметрами :

Некоторые сведения полезно знать в связи с нормальным распределением:

при этом нечетность, , если .

4*. Распределение Коши:

Рекомендуется во всех случаях 1*−4* построить графики указанных плотностей.

Пример 2.1 Используя интегралы Пуассона вычислить интегралы Эйлера – Пуассона

Решение. Поскольку , то достаточно вычислить

Итак,

Пример 2.2 Убедиться, что в распределениях 1*−4* выполнены условия нормировки, найти мат. ожидания и дисперсии. В случаях 1*, 2*, 4* вычислить функцию распределения.

Решение.

Равномерное распределение

Проверка условия нормировки

мат. ожидание

дисперсия

функция распределения

Показательное распределение

Проверка условия нормировки

мат. ожидание

дисперсия

функция распределения

Нормальное распределение с параметрами :

Проверка условия нормировки

мат. ожидание

дисперсия

Здесь среднее слагаемое равно 0, последнее , а первый интеграл мы сейчас вычислим

Итак, мы выяснили вероятностный смысл параметров в нормальном законе: число это мат. ожидание, а число средне квадратичное уклонение.

Распределение Коши:

Проверка условия нормировки

мат. ожидание

ществует, а, значит, не существует и дисперсия;

функция распределения

Пример 2.3 Плотность распределения нормального закона имеет вид

Требуется определить константу , найти мат. ожидание, дисперсию, средне квадратичное уклонение и вычислить вероятность .

Решение. Прежде всего, мат. ожидание находим из условия того, что Далее, . Таким образом, получим

Теперь вычислим вероятность :

Пример 2.4 Плотность СВ задана следующими условиями . Найти , , .

Решение. Константу найдем из условия нормировки:

Теперь найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

Искомую вероятность проще всего искать через представление функции распределения интегралом:

Пример 2.5 НСВ распределена по показательному закону с параметром и плотностью

Найти плотность распределения СВ .

Решение. В примере 2.2 найдена функция распределения СВ . Именно,

Пусть . Тогда,

Если , то ясно, что . Если же , то Однако при имеем и вероятность . Поэтому, если , Пусть теперь . В таком случае Итак,

Следовательно, и . В точке плотность терпит разрыв первого рода. Её можно принять равной левому или правому пределу, или, вообще, любому числу. А можно считать, что она там ничему не равна. Таким образом,

Пример 2.6 График плотности непрерывной случайной величины имеет вид

Найти величину , функцию распределения , , вероятность .

Решение. Величину легко найти, приравняв к 1 площадь треугольника: Следовательно, . Теперь найдем плотность распределения

Найдем функцию распределения:

Итак,

Найдем мат. ожидание:

Найдем дисперсию:

Вычислим вероятность . ∎

Д/З

Задача (графики плотностей). Построить графики плотностей основных распределений.

Задача (графики функций распределения). Построить графики функций распределения основных распределений.

Задача (пример распределения) График плотности непрерывного распределения имеет вид

−1 О 1 4

Найти величину C, функцию распределения , , вероятность . Ответ: ,

Задача (электролампа). Среднее время работы электролампы до момента отказа 700 часов. Определить вероятность того, что электролампа проработает более 20 суток, но менее 30 суток, если известно, что время работы электролампы есть СВ, распределенная по показательному закону. Ответ: ;